Løs 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Løs for y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4y^{2}+ay+by+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Løsningen er paret som gir Summer -9.

$$a=-8 b=-1$$

Skriv om 4y^{2}-9y+2 som \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Faktor ut 4y i den første og -1 i den andre gruppen.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet y-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-2=0 og 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -9 for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kvadrer -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Legg sammen 81 og -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{9±7}{8} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Del 16 på 8.

$$y=2$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{9±7}{8} når ± er minus. Trekk fra 7 fra 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Forkort brøken \frac{2}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Forkort brøken \frac{-2}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Del -\frac{9}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Legg sammen -\frac{1}{2} og \frac{81}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktoriser y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Legg til \frac{9}{8} på begge sider av ligningen.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$