Løs 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1,593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0,156929669$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -7 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrer -7.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 49 og -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} når ± er pluss. Legg sammen 7 og \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{33} fra 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Del -\frac{7}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Legg sammen -\frac{1}{4} og \frac{49}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Faktoriser y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Legg til \frac{7}{8} på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$