Løs 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Løs for x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$4x-y=5$$

Legg til y på begge sider av ligningen.

$$4x=y+5$$

Del begge sidene på 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Sett inn \frac{5+y}{4} for x i den andre formelen, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Multipliser -4 ganger \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Legg sammen -y og 5y.

$$4y-5=7$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$4y=12$$

Del begge sidene på 4.

$$y=3$$

Sett inn 3 for y i x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Legg sammen \frac{5}{4} og \frac{3}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=2$$

Systemet er nå løst.

$$x=2,y=3$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=2,y=3$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

For å gjøre 4x og -4x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med -4 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Forenkle.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Trekk fra -16x+20y=28 fra -16x+4y=-20 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Legg sammen -16x og 16x. Vilkårene -16x og 16x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$4y-20y=-20-28$$

Legg sammen 4y og -20y.

$$-16y=-20-28$$

Legg sammen -20 og -28.

$$-16y=-48$$

Del begge sidene på -16.

$$y=3$$

Sett inn 3 for y i -4x+5y=7. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$-4x+5\times 3=7$$

Multipliser 5 ganger 3.

$$-4x+15=7$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$-4x=-8$$

Del begge sidene på -4.

$$x=2$$

Systemet er nå løst.

$$x=2,y=3$$