Løs 4x-y=4text{and}3x+2y=14

$$4 x - y = 4 \text { and } 3 x + 2 y = 14$$

Løs for x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$4x-y=4,3x+2y=14$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$4x-y=4$$

Legg til y på begge sider av ligningen.

$$4x=y+4$$

Del begge sidene på 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger y+4.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

Sett inn \frac{y}{4}+1 for x i den andre formelen, 3x+2y=14.

$$3\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=14$$

Multipliser 3 ganger \frac{y}{4}+1.

$$\frac{3}{4}y+3+2y=14$$

Legg sammen \frac{3y}{4} og 2y.

$$\frac{11}{4}y+3=14$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$\frac{11}{4}y=11$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{11}{4}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=4$$

Sett inn 4 for y i x=\frac{1}{4}y+1. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{1}{4}\times 4+1$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger 4.

$$x=1+1$$

Legg sammen 1 og 1.

$$x=2$$

Systemet er nå løst.

$$x=2,y=4$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$4x-y=4,3x+2y=14$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4+\frac{1}{11}\times 14\\-\frac{3}{11}\times 4+\frac{4}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=2,y=4$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$4x-y=4,3x+2y=14$$

For å gjøre 4x og 3x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 3 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 4,4\times 3x+4\times 2y=4\times 14$$

Forenkle.

$$12x-3y=12,12x+8y=56$$

Trekk fra 12x+8y=56 fra 12x-3y=12 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$12x-12x-3y-8y=12-56$$

Legg sammen 12x og -12x. Vilkårene 12x og -12x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-3y-8y=12-56$$

Legg sammen -3y og -8y.

$$-11y=12-56$$

Legg sammen 12 og -56.

$$-11y=-44$$

Del begge sidene på -11.

$$y=4$$

Sett inn 4 for y i 3x+2y=14. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$3x+2\times 4=14$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$3x+8=14$$

Trekk fra 8 fra begge sider av ligningen.

$$3x=6$$

Del begge sidene på 3.

$$x=2$$

Systemet er nå løst.

$$x=2,y=4$$