Løs 4x-x^2+60=0

$$4 x - x ^ { 2 } + 60 = 0$$

Løs for x

$$x=-6$$

$$x=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-x^{2}+4x+60=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx+60. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=-60=-60$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 4.

$$a=10 b=-6$$

Skriv om -x^{2}+4x+60 som \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-6x+60\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-6x+60\right)$$

Faktor ut -x i den første og -6 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-10\right)-6\left(x-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-10\right)\left(-x-6\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og -x-6=0.

$$x=10 x=-6$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+4x+60=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 4 for b og 60 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 16 og 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-4±16}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±16}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 16.

$$x=\frac{12}{-2}$$

Del 12 på -2.

$$x=-6$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±16}{-2} når ± er minus. Trekk fra 16 fra -4.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Del -20 på -2.

$$x=10$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-6 x=10$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x+60=0$$

Trekk fra 60 fra begge sider av ligningen.

$$-x^{2}+4x+60-60=-60$$

Når du trekker fra 60 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-x^{2}+4x=-60$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{60}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{60}{-1}$$

Del 4 på -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{60}{-1}$$

Del -60 på -1.

$$x^{2}-4x=60$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=60+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=60+4$$

Legg sammen 60 og 4.

$$x^{2}-4x+4=64$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=64$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Forenkle.

$$x-2=8 x-2=-8$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=10 x=-6$$