Løs 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Løs for x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$4x-5y=2$$

Legg til 5y på begge sider av ligningen.

$$4x=5y+2$$

Del begge sidene på 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Sett inn \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} for x i den andre formelen, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Legg sammen \frac{5y}{4} og 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{45}{4}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=\frac{18}{5}$$

Sett inn \frac{18}{5} for y i x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Multipliser \frac{5}{4} med \frac{18}{5} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{9}{2} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=5$$

Systemet er nå løst.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

For å gjøre 4x og x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Forenkle.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Trekk fra 4x+40y=164 fra 4x-5y=2 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Legg sammen 4x og -4x. Vilkårene 4x og -4x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-5y-40y=2-164$$

Legg sammen -5y og -40y.

$$-45y=2-164$$

Legg sammen 2 og -164.

$$-45y=-162$$

Del begge sidene på -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Sett inn \frac{18}{5} for y i x+10y=41. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Multipliser 10 ganger \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Trekk fra 36 fra begge sider av ligningen.

$$x=5$$

Systemet er nå løst.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$