Løs 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Løs for x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$4x-5y=-14$$

Legg til 5y på begge sider av ligningen.

$$4x=5y-14$$

Del begge sidene på 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Sett inn \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} for x i den andre formelen, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Multipliser 7 ganger \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Legg sammen \frac{35y}{4} og y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Legg til \frac{49}{2} på begge sider av ligningen.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{39}{4}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=2$$

Sett inn 2 for y i x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Multipliser \frac{5}{4} ganger 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Legg sammen -\frac{7}{2} og \frac{5}{2} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=-1$$

Systemet er nå løst.

$$x=-1,y=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=-1,y=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

For å gjøre 4x og 7x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 7 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Forenkle.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Trekk fra 28x+4y=-20 fra 28x-35y=-98 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Legg sammen 28x og -28x. Vilkårene 28x og -28x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-35y-4y=-98+20$$

Legg sammen -35y og -4y.

$$-39y=-98+20$$

Legg sammen -98 og 20.

$$-39y=-78$$

Del begge sidene på -39.

$$y=2$$

Sett inn 2 for y i 7x+y=-5. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$7x+2=-5$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$7x=-7$$

Del begge sidene på 7.

$$x=-1$$

Systemet er nå løst.

$$x=-1,y=2$$