Løs 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Løs for x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$4x-3y=2$$

Legg til 3y på begge sider av ligningen.

$$4x=3y+2$$

Del begge sidene på 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Sett inn \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} for x i den andre formelen, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Legg sammen \frac{3y}{4} og 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{23}{4}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=-2$$

Sett inn -2 for y i x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Multipliser \frac{3}{4} ganger -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og -\frac{3}{2} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=-1$$

Systemet er nå løst.

$$x=-1,y=-2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=-1,y=-2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

For å gjøre 4x og x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Forenkle.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Trekk fra 4x+20y=-44 fra 4x-3y=2 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Legg sammen 4x og -4x. Vilkårene 4x og -4x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-3y-20y=2+44$$

Legg sammen -3y og -20y.

$$-23y=2+44$$

Legg sammen 2 og 44.

$$-23y=46$$

Del begge sidene på -23.

$$y=-2$$

Sett inn -2 for y i x+5y=-11. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Multipliser 5 ganger -2.

$$x-10=-11$$

Legg til 10 på begge sider av ligningen.

$$x=-1$$

Systemet er nå løst.

$$x=-1,y=-2$$