Løs 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-5 b=4$$

Skriv om 4x^{2}-x-5 som \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Faktorer ut x i 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-5=0 og x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -1 for b og -5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Legg sammen 1 og 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±9}{8} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Forkort brøken \frac{10}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±9}{8} når ± er minus. Trekk fra 9 fra 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Del -8 på 8.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Når du trekker fra -5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Trekk fra -5 fra 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Del -\frac{1}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Legg sammen \frac{5}{4} og \frac{1}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Legg til \frac{1}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$