Løs 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Løsningen er paret som gir Summer -9.

$$a=-12 b=3$$

Skriv om 4x^{2}-9x-9 som \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Faktor ut 4x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -9 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Legg sammen 81 og 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±15}{8} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Del 24 på 8.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±15}{8} når ± er minus. Trekk fra 15 fra 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Forkort brøken \frac{-6}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Del -\frac{9}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Legg sammen \frac{9}{4} og \frac{81}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Legg til \frac{9}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$