Løs 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -8.

$$a=-10 b=2$$

Skriv om 4x^{2}-8x-5 som \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Faktorer ut 2x i 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-5=0 og 2x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -8 for b og -5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Legg sammen 64 og 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Det motsatte av -8 er 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±12}{8} når ± er pluss. Legg sammen 8 og 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Forkort brøken \frac{20}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±12}{8} når ± er minus. Trekk fra 12 fra 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Forkort brøken \frac{-4}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Når du trekker fra -5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

Trekk fra -5 fra 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

Del -8 på 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Legg sammen \frac{5}{4} og 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkle.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$