Løs 4x^2-7x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{193} + 7}{8} \approx 2,611555499$$

$$x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}\approx -0,861555499$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-7x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -7 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+144}}{2\times 4}$$

Legg sammen 49 og 144.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{193}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±\sqrt{193}}{8} når ± er pluss. Legg sammen 7 og \sqrt{193}.

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±\sqrt{193}}{8} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{193} fra 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-7x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-7x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$4x^{2}-7x=9$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{9}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{9}{4}$$

Del -\frac{7}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{9}{4}+\frac{49}{64}$$

Legg sammen \frac{9}{4} og \frac{49}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{193}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{193}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{193}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{193}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{193}}{8}$$

Legg til \frac{7}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$