Løs 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-4 b=-3$$

Skriv om 4x^{2}-7x+3 som \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Faktor ut 4x i den første og -3 i den andre gruppen.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -7 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Kvadrer -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Legg sammen 49 og -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±1}{8} når ± er pluss. Legg sammen 7 og 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Del 8 på 8.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±1}{8} når ± er minus. Trekk fra 1 fra 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Forkort brøken \frac{6}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Del -\frac{7}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Legg sammen -\frac{3}{4} og \frac{49}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Legg til \frac{7}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$