Løs 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -5 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 25 og 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} når ± er pluss. Legg sammen 5 og \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{41} fra 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Del -\frac{5}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Legg sammen \frac{1}{4} og \frac{25}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Legg til \frac{5}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$