Løs 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-4 b=-1$$

Skriv om 4x^{2}-5x+1 som \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Faktor ut 4x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -5 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 25 og -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±3}{8} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Del 8 på 8.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±3}{8} når ± er minus. Trekk fra 3 fra 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Forkort brøken \frac{2}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Del -\frac{5}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Legg sammen -\frac{1}{4} og \frac{25}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Legg til \frac{5}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$