Løs 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -4.

$$a=-2 b=-2$$

Skriv om 4x^{2}-4x+1 som \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Faktor ut 2x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -4 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 16 og -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Forkort brøken \frac{4}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Del -4 på 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Del -1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Legg sammen -\frac{1}{4} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=\frac{1}{2}$$