Løs 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -18 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Kvadrer -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Legg sammen 324 og -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Det motsatte av -18 er 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} når ± er pluss. Legg sammen 18 og 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Del 18+2\sqrt{61} på 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{61} fra 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Del 18-2\sqrt{61} på 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Forkort brøken \frac{-18}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Del -\frac{9}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Legg sammen -\frac{5}{4} og \frac{81}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Legg til \frac{9}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$