Løs 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-27. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -12.

$$a=-18 b=6$$

Skriv om 4x^{2}-12x-27 som \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-9=0 og 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -12 for b og -27 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Legg sammen 144 og 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±24}{8} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Forkort brøken \frac{36}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±24}{8} når ± er minus. Trekk fra 24 fra 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Forkort brøken \frac{-12}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Legg til 27 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Når du trekker fra -27 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Trekk fra -27 fra 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Del -12 på 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Legg sammen \frac{27}{4} og \frac{9}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$