Løs 4x^2-12x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 3}{2} \approx 3,08113883$$

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}\approx -0,08113883$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-12x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -12 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 144 og 16.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{160}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 160.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{10}}{2\times 4}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{10}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+12}{8}$$

Del 12+4\sqrt{10} på 8.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{10} fra 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{10}}{8}$$

Del 12-4\sqrt{10} på 8.

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-12x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-12x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$4x^{2}-12x=1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Del -12 på 4.

$$x^{2}-3x=\frac{1}{4}$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1+9}{4}$$

Legg sammen \frac{1}{4} og \frac{9}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$