Løs 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Trekk fra 16 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Når du trekker fra 16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Trekk fra 16 fra 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -11 for b og 14 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Kvadrer -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Legg sammen 121 og -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Det motsatte av -11 er 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} når ± er pluss. Legg sammen 11 og i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{103} fra 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Trekk fra 30 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Når du trekker fra 30 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Trekk fra 30 fra 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Forkort brøken \frac{-14}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Divider -\frac{11}{4}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{11}{8}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{11}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Legg sammen -\frac{7}{2} og \frac{121}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Legg til \frac{11}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$