Løs 4x^2+7x=1

$$4 x ^ { 2 } + 7 x = 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}\approx 0,132782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}\approx -1,882782219$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+7x=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+7x-1=1-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+7x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 7 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 49 og 16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} når ± er pluss. Legg sammen -7 og \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{65} fra -7.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+7x=1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Del \frac{7}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Legg sammen \frac{1}{4} og \frac{49}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Trekk fra \frac{7}{8} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$