Løs 4x^2+6x-1>0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{13}-3}{4},\infty\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+6x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 4 med a, 6 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8}$$

Løs ligningen x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)>0$$

Hvis produktet skal være positivt, x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} og x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} må være både negative eller positive. Vurder saken når både x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} og x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} er negative.

$$x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}<0 x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} og x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} er positive.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}>0 x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}>0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$