Løs 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0,75+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0,75-1,391941091i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 6 for b og 10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kvadrer 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Legg sammen 36 og -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av -124.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} når ± er pluss. Legg sammen -6 og 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Del -6+2i\sqrt{31} på 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{31} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Del -6-2i\sqrt{31} på 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

Når du trekker fra 10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Forkort brøken \frac{6}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Forkort brøken \frac{-10}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Del \frac{3}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Legg sammen -\frac{5}{2} og \frac{9}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Trekk fra \frac{3}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$