Løs 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0,190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1,309016994$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 6 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrer 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 36 og -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} når ± er pluss. Legg sammen -6 og 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

Del -6+2\sqrt{5} på 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{5} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

Del -6-2\sqrt{5} på 8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Forkort brøken \frac{6}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Divider \frac{3}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{4}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

Legg sammen -\frac{1}{4} og \frac{9}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Trekk fra \frac{3}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$