Løs 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 4x^{2}+ax+bx-81. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 48.

$$a=-6 b=54$$

Skriv om 4x^{2}+48x-81 som \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 27 i den andre gruppen.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-3=0 og 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 48 for b og -81 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Legg sammen 2304 og 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-48±60}{8} når ± er pluss. Legg sammen -48 og 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Forkort brøken \frac{12}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-48±60}{8} når ± er minus. Trekk fra 60 fra -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Forkort brøken \frac{-108}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Legg til 81 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Når du trekker fra -81 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Trekk fra -81 fra 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Del 48 på 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Divider 12, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få 6. Legg deretter til kvadratet av 6 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Kvadrer 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Legg sammen \frac{81}{4} og 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktoriser x^{2}+12x+36. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Forenkle.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$