Løs 4x^2+4x-15=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x - 15 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 4.

$$a=-6 b=10$$

Skriv om 4x^{2}+4x-15 som \left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$2x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-3=0 og 2x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 4 for b og -15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Legg sammen 16 og 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-4±16}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±16}{8} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 16.

$$x=\frac{12}{8}$$

Forkort brøken \frac{12}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±16}{8} når ± er minus. Trekk fra 16 fra -4.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Forkort brøken \frac{-20}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Legg til 15 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Når du trekker fra -15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+4x=-\left(-15\right)$$

Trekk fra -15 fra 0.

$$4x^{2}+4x=15$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{15}{4}$$

Del 4 på 4.

$$x^{2}+x=\frac{15}{4}$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Legg sammen \frac{15}{4} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=4$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=2 x+\frac{1}{2}=-2$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$