Løs 4x^2+4x=5

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 5$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx 0,724744871$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}\approx -1,724744871$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+4x=5$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+4x-5=5-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+4x-5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 4 for b og -5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}$$

Legg sammen 16 og 80.

$$x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 96.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}$$

Del -4+4\sqrt{6} på 8.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{6} fra -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}$$

Del -4-4\sqrt{6} på 8.

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=5$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}$$

Del 4 på 4.

$$x^{2}+x=\frac{5}{4}$$

Divider 1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}$$

Legg sammen \frac{5}{4} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$