Løs 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 4 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Legg sammen 16 og -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Del -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} på 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} når ± er minus. Trekk fra 8i\sqrt{2} fra -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Del -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} på 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Del 4 på 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Divider 1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Legg sammen -\frac{9}{4} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$