Løs 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 4x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 4.

$$1,4 2,2$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+4=5 2+2=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 4.

$$a=2 b=2$$

Skriv om 4x^{2}+4x+1 som \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Faktorer ut 2x i 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Faktorer ut det felles leddet 2x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 4 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 16 og -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Forkort brøken \frac{-4}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Del 4 på 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Divider 1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Legg sammen -\frac{1}{4} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=-\frac{1}{2}$$