Løs 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 28 for b og 53 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Kvadrer 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Legg sammen 784 og -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-28±8i}{8} når ± er pluss. Legg sammen -28 og 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Del -28+8i på 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-28±8i}{8} når ± er minus. Trekk fra 8i fra -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Del -28-8i på 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Trekk fra 53 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Når du trekker fra 53 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Del 28 på 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Del 7, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Legg sammen -\frac{53}{4} og \frac{49}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Faktoriser x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Trekk fra \frac{7}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$