Løs 4x^2+24x+32=0

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 8.

$$1,8 2,4$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+8=9 2+4=6$$

Løsningen er paret som gir Summer 6.

$$a=2 b=4$$

Skriv om x^{2}+6x+8 som \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x+2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x+2=0 og x+4=0.

$$x=-2 x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 24 for b og 32 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Kvadrer 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Legg sammen 576 og -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 64.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-24±8}{8} når ± er pluss. Legg sammen -24 og 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Del -16 på 8.

$$x=-2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-24±8}{8} når ± er minus. Trekk fra 8 fra -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Del -32 på 8.

$$x=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-2 x=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Trekk fra 32 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Når du trekker fra 32 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Del 24 på 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Del -32 på 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Del 6, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 3. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 3 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

Kvadrer 3.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Legg sammen -8 og 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Faktoriser x^{2}+6x+9. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkle.

$$x+3=1 x+3=-1$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$x=-2 x=-4$$