Løs 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 21 fra begge sider.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Trekk fra 21 fra 1 for å få -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Del begge sidene på 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-4 b=5$$

Skriv om 2x^{2}+x-10 som \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-2=0 og 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Trekk fra 21 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Når du trekker fra 21 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Trekk fra 21 fra 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 2 for b og -20 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Legg sammen 4 og 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±18}{8} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Del 16 på 8.

$$x=2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±18}{8} når ± er minus. Trekk fra 18 fra -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Forkort brøken \frac{-20}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Trekk fra 1 fra 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Forkort brøken \frac{2}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Del 20 på 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Del \frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Legg sammen 5 og \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Trekk fra \frac{1}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$