Løs 4x^2+14x-8=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 8 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 2.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -8.

$$-1,8 -2,4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 7.

$$a=-1 b=8$$

Skriv om 2x^{2}+7x-4 som \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-1=0 og x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+14x-8=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 14 for b og -8 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+128}}{2\times 4}$$

Legg sammen 196 og 128.

$$x=\frac{-14±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-14±18}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-14±18}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-14±18}{8} når ± er pluss. Legg sammen -14 og 18.

$$x=\frac{4}{8}$$

Forkort brøken \frac{4}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-14±18}{8} når ± er minus. Trekk fra 18 fra -14.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Del -32 på 8.

$$x=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-8=0$$

Legg til 8 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Når du trekker fra -8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

Trekk fra -8 fra 0.

$$4x^{2}+14x=8$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{8}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{8}{4}$$

Forkort brøken \frac{14}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{8}{4}$$

Del 8 på 4.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Del \frac{7}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Legg sammen 2 og \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Trekk fra \frac{7}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$