Løs 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 14 for b og -27 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Legg sammen 196 og 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} når ± er pluss. Legg sammen -14 og 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Del -14+2\sqrt{157} på 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{157} fra -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Del -14-2\sqrt{157} på 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Legg til 27 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Når du trekker fra -27 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Trekk fra -27 fra 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Forkort brøken \frac{14}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Del \frac{7}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Legg sammen \frac{27}{4} og \frac{49}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Trekk fra \frac{7}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$