Løs 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 11.

$$a=-5 b=16$$

Skriv om 4x^{2}+11x-20 som \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-5=0 og x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 11 for b og -20 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Legg sammen 121 og 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±21}{8} når ± er pluss. Legg sammen -11 og 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Forkort brøken \frac{10}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±21}{8} når ± er minus. Trekk fra 21 fra -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Del -32 på 8.

$$x=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Legg til 20 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Når du trekker fra -20 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Trekk fra -20 fra 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Del 20 på 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Del \frac{11}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{11}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{11}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{11}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Legg sammen 5 og \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Trekk fra \frac{11}{8} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$