Løs 4x+2y=0quadtext{D)}6x-2y=0

$$4 x + 2 y = 0 \quad \text { D) } 6 x - 2 y = 0$$

Løs for x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$4x+2y=0$$

Trekk fra 2y fra begge sider av ligningen.

$$4x=-2y$$

Del begge sidene på 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)y$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger -2y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Sett inn -\frac{y}{2} for x i den andre formelen, 6x-2y=0.

$$6\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=0$$

Multipliser 6 ganger -\frac{y}{2}.

$$-3y-2y=0$$

Legg sammen -3y og -2y.

$$-5y=0$$

Del begge sidene på -5.

$$y=0$$

Sett inn 0 for y i x=-\frac{1}{2}y. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=0$$

Systemet er nå løst.

$$x=0,y=0$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{4}{4\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=0,y=0$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

For å gjøre 4x og 6x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 6 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 4.

$$6\times 4x+6\times 2y=0,4\times 6x+4\left(-2\right)y=0$$

Forenkle.

$$24x+12y=0,24x-8y=0$$

Trekk fra 24x-8y=0 fra 24x+12y=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$24x-24x+12y+8y=0$$

Legg sammen 24x og -24x. Vilkårene 24x og -24x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$12y+8y=0$$

Legg sammen 12y og 8y.

$$20y=0$$

Del begge sidene på 20.

$$y=0$$

Sett inn 0 for y i 6x-2y=0. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$6x=0$$

Del begge sidene på 6.

$$x=0$$

Systemet er nå løst.

$$x=0,y=0$$