Løs 4x+1=x^2

$$4 x + 1 = x ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$4x+1-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+4x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 4 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 16 og 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 20.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{-2}$$

Del -4+2\sqrt{5} på -2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{-2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{5} fra -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{-2}$$

Del -4-2\sqrt{5} på -2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2-\sqrt{5} x=\sqrt{5}+2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$4x+1-x^{2}=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$4x-x^{2}=-1$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-1$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Del 4 på -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{1}{-1}$$

Del -1 på -1.

$$x^{2}-4x=1$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Legg sammen 1 og 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Forenkle.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$