Løs 4t^2-43t-11=0

$$4 t ^ { 2 } - 43 t - 11 = 0$$

Løs for t

$$t=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$t=11$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4t^{2}+at+bt-11. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-43 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Løsningen er paret som gir Summer -43.

$$a=-44 b=1$$

Skriv om 4t^{2}-43t-11 som \left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right).

$$\left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right)$$

Faktorer ut 4t i 4t^{2}-44t.

$$4t\left(t-11\right)+t-11$$

Faktorer ut det felles leddet t-11 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(t-11\right)\left(4t+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse t-11=0 og 4t+1=0.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -43 for b og -11 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -43.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -11.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+176}}{2\times 4}$$

Legg sammen 1849 og 176.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{2025}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 2025.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±45}{2\times 4}$$

Det motsatte av -43 er 43.

$$t=\frac{43±45}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$t=\frac{43±45}{8}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{43±45}{8} når ± er pluss. Legg sammen 43 og 45.

$$t=\frac{88}{8}$$

Del 88 på 8.

$$t=11$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{43±45}{8} når ± er minus. Trekk fra 45 fra 43.

$$t=-\frac{2}{8}$$

Forkort brøken \frac{-2}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$t=-\frac{1}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

Legg til 11 på begge sider av ligningen.

$$4t^{2}-43t-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Når du trekker fra -11 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4t^{2}-43t=-\left(-11\right)$$

Trekk fra -11 fra 0.

$$4t^{2}-43t=11$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4t^{2}-43t}{4}=\frac{11}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t=\frac{11}{4}$$

Del -\frac{43}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{43}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{43}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{43}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{11}{4}+\frac{1849}{64}$$

Legg sammen \frac{11}{4} og \frac{1849}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{2025}{64}$$

Faktoriser t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{2025}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{64}}$$

Forenkle.

$$t-\frac{43}{8}=\frac{45}{8} t-\frac{43}{8}=-\frac{45}{8}$$

Legg til \frac{43}{8} på begge sider av ligningen.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$