Løs 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Løs for p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4p^{2}+ap+bp-10. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=-8 b=5$$

Skriv om 4p^{2}-3p-10 som \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

Faktor ut 4p i den første og 5 i den andre gruppen.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet p-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse p-2=0 og 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -3 for b og -10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -3.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Legg sammen 9 og 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Nå kan du løse formelen p=\frac{3±13}{8} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

Del 16 på 8.

$$p=2$$

Nå kan du løse formelen p=\frac{3±13}{8} når ± er minus. Trekk fra 13 fra 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Forkort brøken \frac{-10}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Legg til 10 på begge sider av ligningen.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Når du trekker fra -10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

Trekk fra -10 fra 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

Forkort brøken \frac{10}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Del -\frac{3}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Legg sammen \frac{5}{2} og \frac{9}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktoriser p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Forenkle.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Legg til \frac{3}{8} på begge sider av ligningen.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$