Løs 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Løs for n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 11 fra begge sider.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 4n^{2}+an+bn-11. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-11 b=4$$

Skriv om 4n^{2}-7n-11 som \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Faktorer ut n i 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Faktorer ut det felles leddet 4n-11 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4n-11=0 og n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4n^{2}-7n=11$$

Trekk fra 11 fra begge sider av ligningen.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Når du trekker fra 11 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -7 for b og -11 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Legg sammen 49 og 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{7±15}{8} når ± er pluss. Legg sammen 7 og 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Forkort brøken \frac{22}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{7±15}{8} når ± er minus. Trekk fra 15 fra 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Del -8 på 8.

$$n=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Divider -\frac{7}{4}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{7}{8}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{7}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Legg sammen \frac{11}{4} og \frac{49}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktoriser n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Forenkle.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Legg til \frac{7}{8} på begge sider av ligningen.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$