Løs 4n^2-12n+9=0

$$4 n ^ { 2 } - 12 n + 9 = 0$$

Løs for n

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4n^{2}+an+bn+9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Løsningen er paret som gir Summer -12.

$$a=-6 b=-6$$

Skriv om 4n^{2}-12n+9 som \left(4n^{2}-6n\right)+\left(-6n+9\right).

$$\left(4n^{2}-6n\right)+\left(-6n+9\right)$$

Faktor ut 2n i den første og -3 i den andre gruppen.

$$2n\left(2n-3\right)-3\left(2n-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2n-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2n-3\right)\left(2n-3\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(2n-3\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 2n-3=0.

$$n=\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4n^{2}-12n+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -12 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kvadrer -12.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 9.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Legg sammen 144 og -144.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$n=-\frac{-12}{2\times 4}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$n=\frac{12}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$n=\frac{12}{8}$$

Forkort brøken \frac{12}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-12n+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$4n^{2}-12n+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4n^{2}-12n=-9$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4n^{2}-12n}{4}=-\frac{9}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$n^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)n=-\frac{9}{4}$$

Del -12 på 4.

$$n^{2}-3n=-\frac{9}{4}$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}-3n+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Legg sammen -\frac{9}{4} og \frac{9}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=0$$

Faktoriser n^{2}-3n+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$n-\frac{3}{2}=0 n-\frac{3}{2}=0$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$n=\frac{3}{2} n=\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$n=\frac{3}{2}$$