Løs 4a^2+102a-224=0

$$4 a ^ { 2 } + 102 a - 224 = 0$$

Løs for a

$$a = \frac{\sqrt{3497} - 51}{4} \approx 2,033859442$$

$$a=\frac{-\sqrt{3497}-51}{4}\approx -27,533859442$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4a^{2}+102a-224=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 102 for b og -224 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-102±\sqrt{102^{2}-4\times 4\left(-224\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 102.

$$a=\frac{-102±\sqrt{10404-4\times 4\left(-224\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$a=\frac{-102±\sqrt{10404-16\left(-224\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -224.

$$a=\frac{-102±\sqrt{10404+3584}}{2\times 4}$$

Legg sammen 10404 og 3584.

$$a=\frac{-102±\sqrt{13988}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 13988.

$$a=\frac{-102±2\sqrt{3497}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$a=\frac{-102±2\sqrt{3497}}{8}$$

Nå kan du løse formelen a=\frac{-102±2\sqrt{3497}}{8} når ± er pluss. Legg sammen -102 og 2\sqrt{3497}.

$$a=\frac{2\sqrt{3497}-102}{8}$$

Del -102+2\sqrt{3497} på 8.

$$a=\frac{\sqrt{3497}-51}{4}$$

Nå kan du løse formelen a=\frac{-102±2\sqrt{3497}}{8} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{3497} fra -102.

$$a=\frac{-2\sqrt{3497}-102}{8}$$

Del -102-2\sqrt{3497} på 8.

$$a=\frac{-\sqrt{3497}-51}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$a=\frac{\sqrt{3497}-51}{4} a=\frac{-\sqrt{3497}-51}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4a^{2}+102a-224=0$$

Legg til 224 på begge sider av ligningen.

$$4a^{2}+102a-224-\left(-224\right)=-\left(-224\right)$$

Når du trekker fra -224 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4a^{2}+102a=-\left(-224\right)$$

Trekk fra -224 fra 0.

$$4a^{2}+102a=224$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4a^{2}+102a}{4}=\frac{224}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$a^{2}+\frac{102}{4}a=\frac{224}{4}$$

Forkort brøken \frac{102}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$a^{2}+\frac{51}{2}a=\frac{224}{4}$$

Del 224 på 4.

$$a^{2}+\frac{51}{2}a=56$$

Del \frac{51}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{51}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{51}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$a^{2}+\frac{51}{2}a+\left(\frac{51}{4}\right)^{2}=56+\left(\frac{51}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{51}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$a^{2}+\frac{51}{2}a+\frac{2601}{16}=56+\frac{2601}{16}$$

Legg sammen 56 og \frac{2601}{16}.

$$a^{2}+\frac{51}{2}a+\frac{2601}{16}=\frac{3497}{16}$$

Faktoriser a^{2}+\frac{51}{2}a+\frac{2601}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{51}{4}\right)^{2}=\frac{3497}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(a+\frac{51}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3497}{16}}$$

Forenkle.

$$a+\frac{51}{4}=\frac{\sqrt{3497}}{4} a+\frac{51}{4}=-\frac{\sqrt{3497}}{4}$$

Trekk fra \frac{51}{4} fra begge sider av ligningen.

$$a=\frac{\sqrt{3497}-51}{4} a=\frac{-\sqrt{3497}-51}{4}$$