Løs 4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

Løs for x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1,866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0,133974596$$

$$x=-1$$

Løsningstrinn

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av ligningen med x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x^{2}+2x.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4x^{2}+8x med x.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4x^{3}+8x^{2} med x+2 og kombinere like ledd.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5x med x+2.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

Legg til 5x^{2} på begge sider.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

Kombiner 16x^{2} og 5x^{2} for å få 21x^{2}.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

Legg til 10x på begge sider.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

Skriv ligningen på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 1 og q dividerer den ledende koeffisienten 4. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 på x+1 for å få 4x^{3}+12x^{2}+9x+1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 1 og q dividerer den ledende koeffisienten 4. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 på x+1 for å få 4x^{2}+8x+1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 4 med a, 8 med b, og 1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

Løs ligningen 4x^{2}+8x+1=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$