Løs 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Trekk fra 169 fra 4 for å få -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-165. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Løsningen er paret som gir Summer 8.

$$a=-22 b=30$$

Skriv om 4x^{2}+8x-165 som \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 15 i den andre gruppen.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-11 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-11=0 og 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Trekk fra 169 fra 4 for å få -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 8 for b og -165 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Legg sammen 64 og 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8±52}{8} når ± er pluss. Legg sammen -8 og 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Forkort brøken \frac{44}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8±52}{8} når ± er minus. Trekk fra 52 fra -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Forkort brøken \frac{-60}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Trekk fra 169 fra 4 for å få -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Legg til 165 på begge sider. Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$4x^{2}+8x=165$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Del 8 på 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Del 2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Kvadrer 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Legg sammen \frac{165}{4} og 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Faktoriser x^{2}+2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkle.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$