Løs 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0,625+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0,625-1,452368755i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -5 for b og 10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Legg sammen 25 og -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av -135.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} når ± er minus. Trekk fra 3i\sqrt{15} fra 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

Når du trekker fra 10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Forkort brøken \frac{-10}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Del -\frac{5}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Legg sammen -\frac{5}{2} og \frac{25}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Legg til \frac{5}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$