Løs 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -4 for b og -16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Legg sammen 16 og 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Del 4+4\sqrt{17} på 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{17} fra 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Del 4-4\sqrt{17} på 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Legg til 16 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Når du trekker fra -16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Trekk fra -16 fra 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Del -4 på 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Del 16 på 4.

$$x^{2}-x=4$$

Del -1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 4 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$