Løs 4x^2-32x+15=0

$$4 { x }^{ 2 } -32x+15=0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx+15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-32 ab=4\times 15=60$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Løsningen er paret som gir Summer -32.

$$a=-30 b=-2$$

Skriv om 4x^{2}-32x+15 som \left(4x^{2}-30x\right)+\left(-2x+15\right).

$$\left(4x^{2}-30x\right)+\left(-2x+15\right)$$

Faktor ut 2x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$2x\left(2x-15\right)-\left(2x-15\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-15 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-15\right)\left(2x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-15=0 og 2x-1=0.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-32x+15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -32 for b og 15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Kvadrer -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-16\times 15}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger 15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-240}}{2\times 4}$$

Legg sammen 1024 og -240.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 784.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±28}{2\times 4}$$

Det motsatte av -32 er 32.

$$x=\frac{32±28}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{32±28}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{32±28}{8} når ± er pluss. Legg sammen 32 og 28.

$$x=\frac{60}{8}$$

Forkort brøken \frac{60}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{15}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{32±28}{8} når ± er minus. Trekk fra 28 fra 32.

$$x=\frac{4}{8}$$

Forkort brøken \frac{4}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-32x+15=0$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-32x+15-15=-15$$

Når du trekker fra 15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-32x=-15$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-32x}{4}=-\frac{15}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{4}\right)x=-\frac{15}{4}$$

Del -32 på 4.

$$x^{2}-8x=-\frac{15}{4}$$

Del -8, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -4. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -4 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{15}{4}+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrer -4.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{15}{4}+16$$

Legg sammen -\frac{15}{4} og 16.

$$x^{2}-8x+16=\frac{49}{4}$$

Faktoriser x^{2}-8x+16. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkle.

$$x-4=\frac{7}{2} x-4=-\frac{7}{2}$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$