Løs 4x^2-2x-1=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x-1=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -2 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 4 og 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$$

Del 2+2\sqrt{5} på 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{5} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{8}$$

Del 2-2\sqrt{5} på 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$4x^{2}-2x=1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Forkort brøken \frac{-2}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Del -\frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Legg sammen \frac{1}{4} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Legg til \frac{1}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$