Løs 4x^2-13x+7leq0

$$4 { x }^{ 2 } -13x+7 \leq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{13-\sqrt{57}}{8},\frac{\sqrt{57}+13}{8}\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-13x+7=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 4 med a, -13 med b, og 7 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{13±\sqrt{57}}{8}$$

Løs ligningen x=\frac{13±\sqrt{57}}{8} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{57}+13}{8} x=\frac{13-\sqrt{57}}{8}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\right)\left(x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\right)\leq 0$$

En av verdiene x-\frac{\sqrt{57}+13}{8} og x-\frac{13-\sqrt{57}}{8} må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\geq 0 og x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\leq 0.

$$x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\geq 0 x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\leq 0 og x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\geq 0.

$$x-\frac{13-\sqrt{57}}{8}\geq 0 x-\frac{\sqrt{57}+13}{8}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[\frac{13-\sqrt{57}}{8},\frac{\sqrt{57}+13}{8}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{13-\sqrt{57}}{8},\frac{\sqrt{57}+13}{8}\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{13-\sqrt{57}}{8},\frac{\sqrt{57}+13}{8}\end{bmatrix}$$