Løs 4x^2+x+1=0

$$4 { x }^{ 2 } +x+1=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8}\approx -0,125+0,484122918i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}\approx -0,125-0,484122918i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 1 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 1 og -16.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-15}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av -15.

$$x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8} når ± er pluss. Legg sammen -1 og i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{15} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+x=-1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Del \frac{1}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}$$

Legg sammen -\frac{1}{4} og \frac{1}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{15}{64}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{64}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{15}i}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{15}i}{8}$$

Trekk fra \frac{1}{8} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$